维修性特征量
维修分布函数/维修度
产品从故障开始到修理完毕经历的时间 \(Y\) \[M(t)=P(Y\leq{}t)\]
修复率
尚未修复的产品在单位时间内修复完成 \[\mu(t)=\frac{m(t)}{1-M(t)}\]
平均修复时间
\[MTTR=\int_0^\infty{}tm(t)dt=\int_0^\infty{}tdM(t)\]
可用性
- 也称有效性，综合反映可靠性和维修性，即可维修产品使用效率的广义可靠性
- 规定条件包括工作条件和维修条件
特征量
瞬时可用度
- 可维修产品在某时刻具有或维持功能的概率
- 瞬时可用度常用于理论分析
平均可用度
\[\bar{A}(t_1,t_2)=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}A(t)dt\]
稳态可用度
\[A=A(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}A(t)=\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\] 当可靠度函数和维修度函数均是指数函数： \[A=\frac{\mu}{\mu+\lambda}\]
预防维修与事后维修
预防维修
- 计划性的维修活动，最常用的形式是定期检修，使设备总是 保持良好的工作状态
- 按照规定程序，假定起始时间为 \(0\)，检修时间间隔为 \(T\)，则产品工作时间 \(t=jT+\tau\)
理想预防维修系统的可用度
- 平均预防维修时间 \(T_p\) ；平均事后维修时间 \(T_f\)
- 系统平均停工时间 \(MDT=R(T)T_p+(1-R(T))T_f\)
- 系统平均工作时间 \(MUT=\int_0^TR(t)dt\)
\[A=\frac{MUT}{MUT+MDT}\]
事后维修
- 系统投入运行后，一旦发生故障，立即开始修理
- 系统只存在运行状态 \(S\) 和失效状态 \(F\)
- 状态转移关系
\[P_F(t+\Delta{}t)=P_S(t)\lambda(t)\Delta{}t+P_F(t)[1-\mu(t)\Delta{}t]\] \[P_F(t)=\exp\{-Q(t)\}\int_0^t\exp\{Q(t)\}\lambda(t)dt,Q(t)=\int_0^t[\lambda(t)+mu(t)]dt\]
马尔科夫模型求解可修复系统可靠性
马尔科夫过程
\[P(X(t_n)=x_n|X(t_1)=x_1,\dots,X(t_{n-1})=x_{n-1})=P(X(t_n)=x_n|X(t_{n-1})=x_{n-1})\] 随机过程 \(\{X(t),t\geq0\}\) 是连续时间和离散状态空间 \(S=\{0,1,2,\dots,n\}\) 的马尔科夫过程，若满足如下条件（即转移密度为常数），则称此过程为齐次马尔科夫过程： \[P(X(t+\Delta{}t)=j|X(t)=i)\equiv{}p_{ij}(\Delta{}t)\] 由归一化条件，显然有： \[p_{ii}+\sum_{j\neq{}i}p_{ij}=1\]
转移率
\[q_{ij}=\lim_{\Delta{}t\rightarrow0}\frac{p_{ij}(\Delta{}t)}{\Delta{}t},q_{i}=\lim_{\Delta{}t\rightarrow0}\frac{1-p_{ii}(\Delta{}t)}{\Delta{}t}\] 由全概率条件，显然有： \[q_i=\sum_{j\neq{}i}q_{ij}\] 转移率矩阵为： \[a_{ij}=q_{ij}~(i\neq{}j)~\text{or}~-q_i~(i=j)\]
利用转移率矩阵求解系统可靠性参数
- 状态概率：系统在 \(t\) 时刻处于状态 \(i\) 的概率
- 可用度：瞬时可用度、稳态可用度
- 系统可靠度、平均首次故障时间
- 状态频率、状态持续时间
系统状态概率
令 \[P(t)=[p_1(t),p_2(t),\dots,p_n(t)]\] 则有： \[P^{'}(t)=P(t)A\] 等式两边使用拉普拉斯变换 \[sP^*(s)-P(0)=P^*(s)A\] \[P^*(s)=P(0)(sI-A)^{-1}\] 然后进行分式分解（\(s_i\) 为矩阵 \(sI-A\) 第 \(i\) 个特征值） \[P^*_j(s)=\sum_{i=0}^Nb_{ji}(s-s_i)^{-1}\] 从而可以得到原函数 \[P_j(t)=\sum_{i=0}^Nb_{ji}\exp(s_it)\]
系统可用度
- 系统的瞬时可用度 \(A(t)\)
\[A(t)=\sum_{j\in{}W}p_j(t)\]
- 系统稳态可用度 \(A(\infty)\)
\[(\pi_0,\dots,\pi_n)A=(0,\dots,0),\pi_0+\dots+\pi_n=1\] \[A(\infty)=\sum_{j\in{}W}\pi_j\]
