可修复系统的可靠性分析

维修性特征量

维修分布函数/维修度

产品从故障开始到修理完毕经历的时间 $Y$ $M (t) = P (Y \leq t)$

修复率

尚未修复的产品在单位时间内修复完成 $μ (t) = \frac{m (t)}{1 - M (t)}$

平均修复时间

$M T T R = \int_{0}^{\infty} t m (t) d t = \int_{0}^{\infty} t d M (t)$

可用性

也称有效性，综合反映可靠性和维修性，即可维修产品使用效率的广义可靠性
规定条件包括工作条件和维修条件

特征量

瞬时可用度

可维修产品在某时刻具有或维持功能的概率
瞬时可用度常用于理论分析

平均可用度

$\bar{A} (t_{1}, t_{2}) = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} A (t) d t$

稳态可用度

$A = A (\infty) = lim_{t \to \infty} A (t) = \frac{M T B F}{M T B F + M T T R}$ 当可靠度函数和维修度函数均是指数函数： $A = \frac{μ}{μ + λ}$

预防维修与事后维修

预防维修

计划性的维修活动，最常用的形式是定期检修，使设备总是保持良好的工作状态
按照规定程序，假定起始时间为 $0$ ，检修时间间隔为 $T$ ，则产品工作时间 $t = j T + τ$

理想预防维修系统的可用度

平均预防维修时间 $T_{p}$ ；平均事后维修时间 $T_{f}$
系统平均停工时间 $M D T = R (T) T_{p} + (1 - R (T)) T_{f}$
系统平均工作时间 $M U T = \int_{0}^{T} R (t) d t$

$A = \frac{M U T}{M U T + M D T}$

事后维修

系统投入运行后，一旦发生故障，立即开始修理
系统只存在运行状态 $S$ 和失效状态 $F$
状态转移关系

$P_{F} (t + Δ t) = P_{S} (t) λ (t) Δ t + P_{F} (t) [1 - μ (t) Δ t]$ $P_{F} (t) = \exp {- Q (t)} \int_{0}^{t} \exp {Q (t)} λ (t) d t, Q (t) = \int_{0}^{t} [λ (t) + m u (t)] d t$

马尔科夫模型求解可修复系统可靠性

马尔科夫过程

$P (X (t_{n}) = x_{n} | X (t_{1}) = x_{1}, \dots, X (t_{n - 1}) = x_{n - 1}) = P (X (t_{n}) = x_{n} | X (t_{n - 1}) = x_{n - 1})$ 随机过程 ${X (t), t \geq 0}$ 是连续时间和离散状态空间 $S = {0, 1, 2, \dots, n}$ 的马尔科夫过程，若满足如下条件（即转移密度为常数），则称此过程为齐次马尔科夫过程： $P (X (t + Δ t) = j | X (t) = i) \equiv p_{i j} (Δ t)$ 由归一化条件，显然有： $p_{i i} + \sum_{j \neq i} p_{i j} = 1$

转移率

$q_{i j} = lim_{Δ t \to 0} \frac{p_{i j} (Δ t)}{Δ t}, q_{i} = lim_{Δ t \to 0} \frac{1 - p_{i i} (Δ t)}{Δ t}$ 由全概率条件，显然有： $q_{i} = \sum_{j \neq i} q_{i j}$ 转移率矩阵为： $a_{i j} = q_{i j} (i \neq j) or - q_{i} (i = j)$

利用转移率矩阵求解系统可靠性参数

状态概率：系统在 $t$ 时刻处于状态 $i$ 的概率
可用度：瞬时可用度、稳态可用度
系统可靠度、平均首次故障时间
状态频率、状态持续时间

系统状态概率

令 $P (t) = [p_{1} (t), p_{2} (t), \dots, p_{n} (t)]$ 则有： $P^{^{'}} (t) = P (t) A$ 等式两边使用拉普拉斯变换 $s P^{*} (s) - P (0) = P^{*} (s) A$ $P^{*} (s) = P (0) (s I - A)^{- 1}$ 然后进行分式分解（ $s_{i}$ 为矩阵 $s I - A$ 第 $i$ 个特征值） $P_{j}^{*} (s) = \sum_{i = 0}^{N} b_{j i} (s - s_{i})^{- 1}$ 从而可以得到原函数 $P_{j} (t) = \sum_{i = 0}^{N} b_{j i} \exp (s_{i} t)$

系统可用度

系统的瞬时可用度 $A (t)$

$A (t) = \sum_{j \in W} p_{j} (t)$

系统稳态可用度 $A (\infty)$

$(π_{0}, \dots, π_{n}) A = (0, \dots, 0), π_{0} + \dots + π_{n} = 1$ $A (\infty) = \sum_{j \in W} π_{j}$