可靠性逻辑框图
系统可靠性
- 在元件故障数据和系统结构已知的情况下，预测系统的可靠性
- 硬件可靠性/人员操作可靠性/软件可靠性
系统可靠性框图
描述系统与其组成单元之间的故障逻辑关系，以系统工程图为基础。
- 方框:单元或功能
- 逻辑关系:功能布局
- 连线:系统功能流程的方向
- 节点(节点可以在需要时才加以标注)
- 输入节点:系统功能流程的起点
- 输出节点:系统功能流程的终点
- 中间节点
典型不可修系统的可靠性分析
可靠性分析假设
- 系统及组成单元只有故障与正常两种状态
- 不同方框表示的不同单元的故障概率是相互独立的
- 不考虑输入错误引起的系统故障
- 假设系统的整个软件是完全可靠的
- 假设人员操作是完全可靠的。
串联系统
\[S=x_1\cap{}x_2\cap{}\dots\cap{}x_n\] \[\bar{S}=\bar{x}_1\cup\bar{x}_2\cup\dots\cup\bar{x}_n\] \[R_S(t)=\prod_{i=1}^nR_i(t)\]
- 当各单元的寿命分布均为指数分布时，系统的寿命也服从指数分布
- 串联系统中提高可靠度最小的设备的可靠性，对系统可靠性的提高贡献最大
并联系统
\[S=x_1\cup{}x_2\cup{}\dots\cup{}x_n\] \[\bar{S}=\bar{x}_1\cap\bar{x}_2\cap\dots\cap\bar{x}_n\] \[R_S(t)=1-\prod_{i=1}^n(1-e^{-\lambda_it})\] \[MTTF_S=\sum_{i=1}^n(i\lambda)^{-1}\]
- 三并联到四并联基本上可以满足要求
- 并联系统中提高可靠度最大的设备的可靠性，对系统可靠性的提高贡献最大
\(k/n\)表决系统
\[R_S(t)=\sum_{i=0}^{n-k}C_n^i[1-R(t)]^i[R(t)]^{n-i}\] \[\text{For exponential distribution, }MTTF_S=\sum_{i=k}^n\frac{1}{i\lambda}\]
储备系统
组成系统的各单元只有一个单元工作，当工作单元故障时，通过转换装置接到另一个单元继续工作，直到所有单元都故障时系统才故障，称为非工作贮备系统(又可称为旁联系统)
卷积方法
\[f_{12}(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_0^tf_2(t-t_1)f_1(t)dt_1\] \(f_1(t)=\lambda_1e^{-\lambda_1t},f_2(t)=\lambda_2e^{-\lambda_2t}\) \[L[f_{12}(t)]=L[f_1(t)*f_2(t)]=L[f_1(t)]\cdot{}L[f_2(t)]=\frac{\lambda_1}{s+\lambda_1}\frac{\lambda_2}{s+\lambda_2}\] \[\Rightarrow{}f_{12}(t)=\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}(e^{-\lambda_2t}-e^{-\lambda_1t})\]
复合事件概率法
- 两设备的失效可认为是独立的
- 计算储备系统时需考虑两者产生的非独立性（在时间上）
\[R_{12}(t)=R_1(t)+\int_0^tR_2(t-t_1)f_1(t_1)dt_1\]
- 考虑冗余设备的备用失效 \(R_2^{-}(\cdot)\)
- 考虑不完全切换 \(R_{SW}\)
\[R_{12}(t)=R_1(t)+R_{SW}\int_0^tR_2(t-t_1)R_2^{-}(t_1)f_1(t_1)dt_1\]
网络系统
全概率分解法分析复杂系统可靠性
\[R_S(t)=P(S)=P(x)P(S|x)+P(\bar{x})P(S|\bar{x})\]
- \(S(x)\) 表示把网络 \(S\) 中设备 \(x\) 的两端节点合成一个节点而产生的新网络
- \(S(\bar{x})\) 表示把网络 \(S\) 中设备 \(x\) 去掉(即两个端点之间不存在经由 \(x\) 的联系)而产生的新网络
\[R_S(t)=P(S)=P(x)P(S(x))+P(\bar{x})P(S(\bar{x}))\]
选用分解弧的原则
- 对任意无向弧可以作为分解弧
- 与输入节点与输出节点相连的弧可以作为分解弧
- 对任意有向弧，其两端点的任何一个只有流入或流出的弧，可以作为分解弧，若弧的两端都有流入和流出的弧不可作为分解弧（因为不可以引入原本不存在的通路）
最小路集/最小割集法分析系统可靠性
结构函数
\[Y=\varphi(X)=\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)\] \[\bar{\varphi}(X)=1-\varphi(\overline{1-X})\] \[C_1(X)=\{i|x_i=1\},C_0(X)=\{i|x_i=0\}\]
- 路集中任何一个设备变成失效则系统失效，此路集为最小路集
- 割集中任何一个设备变成成功则系统成功，此割集为最小割集
单调关联系统的表示
设最小路集为 \(p_1,\dots,p_m\)，最小割集为 \(k_1,\dots,k_m\) \[\varphi(x)=\bigcup_{j=1}^m\bigcap_{i\in{}p_j}x_i=\bigcap_{j=1}^l\bigcup_{i\in{}k_j}x_i\]
最小路集/最小割集求解
联络矩阵法
\[C:\{C_{ij}=x\text{ if arc }x\text{ exists between }i,j\text{; }0\text{ otherwise}\}\] \[C^r=C\times{}C^{r-1}\] 如果研究 \(I\) 到 \(L\) 的可靠性
- 只需求出\(C^2,C^3,\dots,C^{n-1}\)中第 \(L\) 列
- \(C^{n-1}\)只需求出第 \(I\) 行
布尔行列式
- 给定联络矩阵 \(C\) ，令 \(D=C+I\)
- 删去输入节点列，输出节点行，得到 \(S\)
- \(|S|\) 展开并且各项取正
最小割集
\(S\) 最小割集为 \(\bar{S}\) 最小路集
利用最小路集/最小割集求解系统可靠度
精确解
最小路集/最小割集一般相交（可以直接用容斥原理求解），可对其进行“不交化”，得到相互独立的最小路集/最小割集 \[K_1\cup{}K_2=K_1+\bar{K}_1K_2\]
近似解
- 区间估计：当设备可靠度较高，容斥原理展式的首项或前两项起主要作用
- 点估计
