基本参数
可靠度与不可靠度
- \(n(t)\):在\(0\sim{}t\)时刻的工作时间内产品的累计失效数
- \(N_0\):\(t=0\)时在规定条件下进行工作的产品数
\[Reliability(t)=R(t)=\frac{N_0-n(t)}{N_0}\] \[Fallibility(t)=F(t)=\frac{n(t)}{N_0}\]
失效率
\[\lambda(t)=\lim_{\Delta{}t\rightarrow0}\frac{P(t<T\leq{}t+\Delta{}t|T>t)}{\Delta{}t}=\frac{F^{'}(t)}{1-F(t)}=-\frac{R^{'}(t)}{R(t)}\] \[\hat{\lambda}(t)=\frac{n(t+\Delta{}t)-n(t)}{\Delta{}t(N_0-n(t))}\]
- 单位:\(1Fit=10^{-9}/h\)
- \(R(t)=\exp\{-\int_0^t\lambda(t)dt\}\)
- \(f(t)=\lambda(t)\exp\{-\int_0^t\lambda(t)dt\}\)
浴盆曲线
- 大多数产品的失效率随时间的变化曲线形似浴盆
- 由于产品失效机理的不同，失效率随时间的变化大致可以分为三个阶段：早期故障、偶然故障和耗损故障
平均寿命
平均故障前时间(MTTF, Mean Time To Failure)
设\(n\)个不可修复产品在同样条件下进行试验，测得其全部故障时间为\(t_1,t_2,...,t_n\)，则其平均故障前时间为: \[T_{TF}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nt_i\]
平均故障间隔时间(MTBF, Mean Time Between Failure)
设\(1\)个可修复产品在使用过程中发生了\(n\)次故障，每次故障修复后又重新投入使用，测得其每次工作持续时间为\(t_1,t_2,...,t_n\)，则其平均故障间隔时间为： \[T_{BF}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nt_i\]
平均寿命
\[\theta=\int_0^\infty{}tf(t)dt=\int_0^\infty{}R(t)dt\]
可靠寿命
\[t_R=R^{-1}(r)\]
常用的可靠性定量指标
指数分布:\(\lambda=const\)
- \(R(t)=\exp\{-\lambda{}t\}\)
- \(f(t)=\lambda\exp\{-\lambda{}t\}\)
- \(\theta=MTTF=\lambda^{-1}\)
常用分布
对数正态分布
\(T\)的对数\(\ln{}T\)服从正态分布，则\(T\)服从对数正态分布，即\(X=\ln{}T\sim{}N(\mu,\sigma^2)\) \[f(t)=\frac{1}{\sigma{}t\sqrt{2\pi}}\exp\{-\frac{(\ln{}t-\mu)^2}{2\sigma^2}\}\]
- 均值:\(E(T)=\exp\{\mu+\frac{\sigma^2}{2}\}\)
- 方差:\(D(T)=\exp\{2(\mu+\frac{\sigma^2}{2})\}(e^{\sigma^2}-1)\)
威布尔分布
\[f(t)=\frac{m}{t_0}(t-\gamma)^{m-1}\exp\{-(t-\gamma)\frac{m}{t_0}\}\]
- 均值:\(E(T)=\gamma+t_0^{\frac{1}{m}}\Gamma(1+\frac{1}{m})\)
- 方差:\(D(T)=t_0^{\frac{2}{m}}[\Gamma(1+\frac{2}{m})-\Gamma^2(1+\frac{1}{m})]\)
参数估计基础
截尾实验
无替换定数截尾试验
随机抽取\(n\)件产品进行寿命试验，试验到出现事先指定的\(r\)个产品失效停止试验。
- 总试验时间:\[T_r=\sum_{i=1}^rt_i(n-r)t_r\]
- 点估计:\(\lambda=r/T_r\)
- 区间估计:\(2\lambda{}T_r\sim{}\chi^2(2r)\)
有替换定数截尾试验
随机抽取\(n\)件产品进行寿命试验，试验到规定失效数\(r\)时停止试验。\(r\)个失效样品的失效时间记为:\(t_1\leq{}t_2\leq\dots\leq{}t_r\)
- 总试验时间:\(T_r=nt_r\)
无替换定时截尾试验
随机抽取\(n\)件产品进行寿命试验，试验到出现事先规定的时间\(t_0\)停止试验，共有\(r\)个失效
- 总试验时间:\[T_0=\sum_{i=1}^rt_i(n-r)t_0\]
- 点估计:\(\lambda=r/T_0\)
有替换定时截尾试验
随机抽取\(n\)件产品进行寿命试验，试验到出现事先规定的时间\(t_0\)停止试验，共有\(r\)个失效
- 总试验时间:\(T_0=nt_0\)
贝叶斯估计简介
略
